ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA. Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas. Supongamos que el vértice de una parábola cuando su eje focal es paralelo al eje Y se halla situado en el punto (h,k).

 En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula: Hacemos operaciones:
 Damos valores a:
 Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola: Cuando su eje focal es paralelo al eje X se halla situado en el punto (h, k) la fórmula es:
 EJEMPLO: Una parábola tiene su foco en el punto F(5,0) y su vértice en V(1,0). ¿Cuál es su ecuación? Solución: El valor de El punto (h, k) corresponde a (1, 0) La ecuación es:
PROCESO;

PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN.
Parábola Horizontal con Vértice V(h,k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas X, y cuyo Foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él.
 Como la distancia PF = distancia PM = Ecuación de la Directriz, tendremos:
 Elevando al cuadrado ambos miembros:
[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2
 Desarrollando y simplificando
 X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2
 X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2
X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2
 -2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp
 (y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp (y - k)2 = 4Xp - 4hp
 (y - k)2 = 4p(X - h)
 Si desarrollamos la ecuación anterior, se obtiene:
y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0 Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp,
 se obtienen la fórmula:
 y2 + Dy +Ex + F = 0
 Parábola Vertical de Vértice V(h,k) fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo Foco está a una distancia p del Vértice:
Aplicando la PF= PM = Ecuación de la Directriz:
 Elevando al cuadrado y simplificando:
 (X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2
(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2
 (X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2
 (X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp (X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp
(X - h)2 = 4yp - 4kp
(X - h)2 = 4p(y - k)
 Desarrollando el binomio y simplificando la ecuación anterior se tiene:
 X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0

 Haciendo D = -2h, E = -4p, F = 4kp + h2, se obtiene la ecuación: X2 + Dx + Ey + F = 0
 EJEMPLO: 
 Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje X. Resolución: Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación. y = 4px : 16 = 4p(3) p=16/12=4/3 y2= 16/3x Foco: F (4/3,0) Directriz: x= -4/3

LA PARÁBOLA.

Definición.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.
  Características geométricas.
Vértice. Es el punto donde la parábola corta a su eje focal.
 Foco. Es un punto que se encuentra situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.
 Lado recto. La cuerda, perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola.
  Directriz. Línea recta donde la dist (P, F)= dist (P, D); PF PD = . Ver figura 1. Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz. Parámetro p. Distancia del foco al vértice.

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN. Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo». Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio. Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P,0). La directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P,0). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la directriz. Tipo Ecuación Foco Directriz Vertical X2=4PY F(0,P) D=Y= -P Horizontal Y2=4PX F(P,0) D=X= -P NOTA: Recuerda que siempre la parábola va a abrir hacia donde esta el foco por lo que si el foco tiene coordenadas negativas puede abrir hacia abajo o hacia la izquierda, sin embargo si el foco es positivo puede abrir hacia arriba o hacia la derecha.
EJEMPLO: Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y contiene al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje X. Resolución: Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación y2 = 4px : 16 = 4p(3) p=16/12 = 4/3 y2 = 16/3X
PROCESO